Numpy矩陣基礎：乘法、轉置與逆矩陣入門

在Python的科學計算領域，Numpy是處理矩陣和數組的核心庫。無論是數據分析、機器學習還是線性代數問題，熟練掌握Numpy矩陣操作都是基礎。本文將用最簡單的方式講解矩陣的乘法、轉置與逆矩陣，適合初學者快速上手。

一、Numpy與矩陣基礎¶

首先，確保你已經安裝了Numpy庫（如果沒安裝，可通過pip install numpy安裝）。Numpy提供了高效的多維數組和矩陣操作，其核心是ndarray對象，我們可以把矩陣看作是二維的ndarray。

1. 創建矩陣¶

用np.array()可以直接創建矩陣，只需傳入一個嵌套列表：

import numpy as np

# 創建一個2×2的矩陣
matrix = np.array([[1, 2], 
                   [3, 4]])
print(matrix)
# 輸出：
# [[1 2]
#  [3 4]]

2. 矩陣的基本屬性¶

矩陣的形狀（行數、列數）可以通過.shape查看，維度通過.ndim查看（矩陣是二維的，所以ndim=2）：

print("形狀:", matrix.shape)  # 輸出：形狀: (2, 2)
print("維度:", matrix.ndim)   # 輸出：維度: 2
print("數據類型:", matrix.dtype)  # 輸出：數據類型: int64

二、矩陣乘法（點積）¶

矩陣乘法是線性代數中最核心的操作之一，需要注意矩陣乘法與普通數乘的區別。

1. 兩種乘法的區別¶

元素對應相乘（Element-wise Multiplication）：對應位置的元素相乘，在Numpy中用*實現。但要求兩個矩陣形狀完全相同。
矩陣乘法（點積）（Dot Product）：數學上要求前一個矩陣的列數等於後一個矩陣的行數（即m×n矩陣與n×p矩陣相乘，結果爲m×p矩陣）。在Numpy中用np.dot()或@運算符實現。

2. 矩陣乘法實例¶

假設我們有兩個矩陣：
- A = [[1, 2], [3, 4]] （2×2）
- B = [[5, 6], [7, 8]] （2×2）

（1）元素相乘（`*`）¶

C = A * B  # 形狀必須相同，否則報錯
print(C)
# 輸出：
# [[ 5 12]
#  [21 32]]

（2）矩陣乘法（`np.dot()`或`@`）¶

D = np.dot(A, B)  # 等價於 A @ B
print(D)
# 輸出：
# [[19 22]
#  [43 50]]

驗證形狀：矩陣乘法後形狀會變成(2,2)（原矩陣都是2×2），如果換成不同形狀：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # 2×3矩陣
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])  # 3×2矩陣
print(A @ B)  # 結果形狀應爲2×2
# 輸出：
# [[ 58  64]
#  [139 154]]

三、矩陣轉置¶

矩陣轉置是指將矩陣的行和列互換，數學上記爲A^T（或A.T）。

1. 轉置操作¶

用.T屬性實現轉置，適用於二維矩陣（更高維數組同理）：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_T = A.T  # 轉置矩陣
print(A_T)
# 輸出：
# [[1 3]
#  [2 4]]

轉置的形狀：原矩陣(m,n)轉置後變爲(n,m)：

print(A.shape)   # 原形狀：(2, 2)
print(A_T.shape) # 轉置後形狀：(2, 2)（因爲原矩陣是方陣）

2. 轉置的應用¶

轉置常用於調整矩陣形狀以適配乘法，例如：

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])  # 3×2矩陣
B = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])  # 2×3矩陣
# A和B直接相乘形狀不匹配，但A.T是2×3矩陣，與B的形狀相同
print((A.T @ B).shape)  # 結果形狀：(2, 3)

四、逆矩陣¶

逆矩陣是矩陣的“倒數”：如果矩陣A存在逆矩陣A^(-1)，則滿足A × A^(-1) = I（I爲單位矩陣，對角線爲1，其餘爲0）。

1. 逆矩陣的前提¶

必須是方陣：行數=列數（如2×2、3×3矩陣）。
行列式不爲0：行列式可理解爲矩陣的“縮放因子”，爲0時矩陣不可逆。

2. 逆矩陣的Numpy實現¶

用np.linalg.inv()計算逆矩陣，需先導入np.linalg模塊：

A = np.array([[2, 1], [4, 3]])  # 2×2方陣
A_inv = np.linalg.inv(A)  # 計算逆矩陣
print(A_inv)
# 輸出：
# [[ 1.5  -0.5]
#  [-2.    1. ]]

驗證逆矩陣：用矩陣乘法驗證A × A_inv ≈ I（由於浮點誤差，用np.allclose()更準確）：

I = np.eye(2)  # 單位矩陣
print(np.allclose(A @ A_inv, I))  # 輸出：True

3. 注意事項¶

非方陣沒有逆矩陣，例如A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])（3×2矩陣）調用np.linalg.inv(A)會報錯。
行列式爲0的矩陣不可逆，例如A = np.array([[1, 2], [2, 4]])（第二行是第一行的2倍）：

  det = np.linalg.det(A)  # 計算行列式
  print(det)  # 輸出：0.0（行列式爲0，不可逆）

五、總結與練習¶

本文學習了Numpy中矩陣的三大基礎操作：
- 乘法：區分元素相乘（*）和矩陣點積（np.dot()/@），注意形狀匹配。
- 轉置：用.T實現行變列，適用於調整矩陣形狀。
- 逆矩陣：用np.linalg.inv()計算，僅方陣且行列式非零時存在。

小練習：嘗試對本文中的矩陣A和B進行組合操作，例如(A.T @ B).T或驗證A_inv × A是否爲單位矩陣。

掌握這些基礎後，你可以進一步學習矩陣的秩、特徵值等更復雜的線性代數操作。Numpy作爲科學計算的基石，多動手練習是提升熟練度的關鍵！