Numpy矩阵基础：乘法、转置与逆矩阵入门

在Python的科学计算领域，Numpy是处理矩阵和数组的核心库。无论是数据分析、机器学习还是线性代数问题，熟练掌握Numpy矩阵操作都是基础。本文将用最简单的方式讲解矩阵的乘法、转置与逆矩阵，适合初学者快速上手。

一、Numpy与矩阵基础¶

首先，确保你已经安装了Numpy库（如果没安装，可通过pip install numpy安装）。Numpy提供了高效的多维数组和矩阵操作，其核心是ndarray对象，我们可以把矩阵看作是二维的ndarray。

1. 创建矩阵¶

用np.array()可以直接创建矩阵，只需传入一个嵌套列表：

import numpy as np

# 创建一个2×2的矩阵
matrix = np.array([[1, 2], 
                   [3, 4]])
print(matrix)
# 输出：
# [[1 2]
#  [3 4]]

2. 矩阵的基本属性¶

矩阵的形状（行数、列数）可以通过.shape查看，维度通过.ndim查看（矩阵是二维的，所以ndim=2）：

print("形状:", matrix.shape)  # 输出：形状: (2, 2)
print("维度:", matrix.ndim)   # 输出：维度: 2
print("数据类型:", matrix.dtype)  # 输出：数据类型: int64

二、矩阵乘法（点积）¶

矩阵乘法是线性代数中最核心的操作之一，需要注意矩阵乘法与普通数乘的区别。

1. 两种乘法的区别¶

元素对应相乘（Element-wise Multiplication）：对应位置的元素相乘，在Numpy中用*实现。但要求两个矩阵形状完全相同。
矩阵乘法（点积）（Dot Product）：数学上要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数（即m×n矩阵与n×p矩阵相乘，结果为m×p矩阵）。在Numpy中用np.dot()或@运算符实现。

2. 矩阵乘法实例¶

假设我们有两个矩阵：
- A = [[1, 2], [3, 4]] （2×2）
- B = [[5, 6], [7, 8]] （2×2）

（1）元素相乘（`*`）¶

C = A * B  # 形状必须相同，否则报错
print(C)
# 输出：
# [[ 5 12]
#  [21 32]]

（2）矩阵乘法（`np.dot()`或`@`）¶

D = np.dot(A, B)  # 等价于 A @ B
print(D)
# 输出：
# [[19 22]
#  [43 50]]

验证形状：矩阵乘法后形状会变成(2,2)（原矩阵都是2×2），如果换成不同形状：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # 2×3矩阵
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])  # 3×2矩阵
print(A @ B)  # 结果形状应为2×2
# 输出：
# [[ 58  64]
#  [139 154]]

三、矩阵转置¶

矩阵转置是指将矩阵的行和列互换，数学上记为A^T（或A.T）。

1. 转置操作¶

用.T属性实现转置，适用于二维矩阵（更高维数组同理）：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_T = A.T  # 转置矩阵
print(A_T)
# 输出：
# [[1 3]
#  [2 4]]

转置的形状：原矩阵(m,n)转置后变为(n,m)：

print(A.shape)   # 原形状：(2, 2)
print(A_T.shape) # 转置后形状：(2, 2)（因为原矩阵是方阵）

2. 转置的应用¶

转置常用于调整矩阵形状以适配乘法，例如：

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])  # 3×2矩阵
B = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])  # 2×3矩阵
# A和B直接相乘形状不匹配，但A.T是2×3矩阵，与B的形状相同
print((A.T @ B).shape)  # 结果形状：(2, 3)

四、逆矩阵¶

逆矩阵是矩阵的“倒数”：如果矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，则满足A × A^(-1) = I（I为单位矩阵，对角线为1，其余为0）。

1. 逆矩阵的前提¶

必须是方阵：行数=列数（如2×2、3×3矩阵）。
行列式不为0：行列式可理解为矩阵的“缩放因子”，为0时矩阵不可逆。

2. 逆矩阵的Numpy实现¶

用np.linalg.inv()计算逆矩阵，需先导入np.linalg模块：

A = np.array([[2, 1], [4, 3]])  # 2×2方阵
A_inv = np.linalg.inv(A)  # 计算逆矩阵
print(A_inv)
# 输出：
# [[ 1.5  -0.5]
#  [-2.    1. ]]

验证逆矩阵：用矩阵乘法验证A × A_inv ≈ I（由于浮点误差，用np.allclose()更准确）：

I = np.eye(2)  # 单位矩阵
print(np.allclose(A @ A_inv, I))  # 输出：True

3. 注意事项¶

非方阵没有逆矩阵，例如A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])（3×2矩阵）调用np.linalg.inv(A)会报错。
行列式为0的矩阵不可逆，例如A = np.array([[1, 2], [2, 4]])（第二行是第一行的2倍）：

  det = np.linalg.det(A)  # 计算行列式
  print(det)  # 输出：0.0（行列式为0，不可逆）

五、总结与练习¶

本文学习了Numpy中矩阵的三大基础操作：
- 乘法：区分元素相乘（*）和矩阵点积（np.dot()/@），注意形状匹配。
- 转置：用.T实现行变列，适用于调整矩阵形状。
- 逆矩阵：用np.linalg.inv()计算，仅方阵且行列式非零时存在。

小练习：尝试对本文中的矩阵A和B进行组合操作，例如(A.T @ B).T或验证A_inv × A是否为单位矩阵。

掌握这些基础后，你可以进一步学习矩阵的秩、特征值等更复杂的线性代数操作。Numpy作为科学计算的基石，多动手练习是提升熟练度的关键！