上溢和下溢
- 下溢(underflow)是一种极具毁灭性的舍入误差.当接近零的数被四舍五入为零时发生下溢
- 上溢(overflow)是一种极具破坏力的数值错误形式.当大量级的数被近似为∞或者−∞时发生上溢,进一步的运算通常会导致这些无限值变成非数字.
- softmax 函数(softmax function)可以对上溢和下溢进行数值稳定的一个函数,softmax函数经常用于预测与Multinoulli分布相关联的概率,定义为:
基于梯度的优化方法
大多数深度学习算法都涉及某种形式的优化.优化指的是改变x以最小化或最大化某个函数f(x)的任务.我们通常以最小化f(x)指代大多数最优化问题,最大化可以经由最小化算法最小化−f(x)来实现
我们把要最小化或最大化的函数称为目标函数(objective function)或者准则(criterion).当我们对其进行最小化时,也把它称为代价函数(cost function),损失函数(loss function)或者误差函数(error function)
导数
导数(derivative):设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,当自变量x在点x0处取得增量△x(△x=0 且x0+△x∈U(x0))时,相应的函数y取得增量:
△y=f(x0+△x)−f(x0)(1)
若极限
△x→0lim△x△y=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)(2)
存在,则称函数y=f(x)在点x0可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0的导数,记作f′(x0)或者dxdyx=x0
由上面的定义可得若曲线y=f(x)存在一点(x0,y0),并且在这点上可导,导数为f′(x0),那么导数f′(x0)就是该点的斜率.
梯度下降(gradient descent)导数对最小化一个函数很有用,当△x足够小时,f(x−△xsign(f′(x)))是比f(x)小的,因此我们可以将x往导数的反方向移动一小步来减小f(x).这种技术称为梯度下降

在不断重复上面操作后,最终可以得到f′(x)=0,改点称为临界点(critical point)或驻点(stationary),这个驻点可能是极大点(maximum),或者是极小点(minimum),还有可能是鞍点(saddle point),还要进一步计算.
- 当驻点的左边的△x距离的f′(x)小于0,而驻点的右边边的△x距离的f′(x)大于0,则该驻点是极小值
- 当驻点的左边的△x距离的f′(x)大于0,而驻点的右边边的△x距离的f′(x)小于0,则该驻点是极大值
- 当驻点的距离左右两边的△x距离的f′(x)=都小于0或都大于0,则该驻点是鞍点

在上面用到了sign函数,下面的就是sign定义:
$${\rm sign}(x) = \left{ \begin{matrix} 1,x>0 \\ 0,x=0 \\ -1,x<0 \end{matrix}\right. \tag{3}$$
sign函数的坐标图:

偏导数
当函数只有二维输入时,其只有一个驻点,所以这个驻点就是它的最小点或者最大点。但是通常遇到更多的是多维输入的函数,它具有多个驻点,所以它有多个极小点和极大点,如下图。所以通过上面的方法很难找到最大点或者最小点。

针对具有多维输入的函数,我们就需要用到偏导数(partial derivative)的概念了。
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个领域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量△x时,相应地函数有增量
f(x0+△x,y0)−f(x0,y0)(4)
如果有极限
△x→0lim△xf(x0+△x,y0)−f(x0,y0)(5)
存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作:
∂x∂fx=x0,y=y0或fx′(x0,y0)(6)
同理,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数 为:
$$f^\prime y(x_0,y_0) = \lim{\triangle y \rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y}\tag{7}$$
例求f(x,y)=x2+3xy+y2在点(2,1)处的偏导数fx(2,1),fy(2,1).
解:把y看作常数,对x求导得到
fx(x,y)=2x+3y(8)
把x看作常数,对y求导得到
fy(x,y)=3x−2y(9)
代入x=2,y=1,故所求偏导数为:
fx(2,1)=7,fy(2,1)=4(10)
梯度(gradient)是相对一个向量求导的导数:f的导数是包含所有偏导数的向量,记作∇xf(x)。梯度的第i个元素是f关于xi的偏导数。在多维情况下,临界点是梯度中所有元素都为零的点。
约束优化
有时候,在x的所有可能值下最大化或者最小化一个函数f(x)不是我们所希望的,相反,我们可能希望在x的某些集合S中找到f(x)的最大值或者最小值,这个称为约束优化(constrained optimization)
Karush-Kuhu-Tucker(KKT)方法是针对约束优化非常通用的解决方案,KKT方法是Lagrange乘子法(只允许等式约束)的推广
参考资料
- lan Goodfellow,Yoshua Bengio,Aaron Courville.深度学习(中文版).赵申剑,黎彧君,符天凡,李凯,译.北京:人民邮电出版社
- 郭游瑞,徐应祥,任阿娟,赵志琴.高等数学简明教程.上海:复旦大学出版社